Dobrando o Cubo Yoshimoto e o Milagre da Multiplicação
12 jan 2009 | por Kentaro Mori em Dúvida Razoável às 12:30
Assista aos cubos se desdobrarem e então, como mágica, se transformarem em uma figura geométrica conhecida como um dodecaedro rômbico estrelado. Mais incrível que o nome é que os dodecaedros logo se transformam novamente em dois cubos de tamanho igual ao cubo original. Magia? Milagre? Hellraiser? Não, geometria.
O CUBO QUE DOBROU A SI MESMO
“Nunca sonhei que um presente de Natal que minha mãe comprou no Museu de Arte Moderna se tornaria um sucesso tão grande! Está pipocando por toda a Internet”, comentou Philip Brocoum que em pouco mais de uma semana já teve mais de 265.000 espectadores para o simples vídeo de seu pequeno presente de Natal.
É um cubo Yoshimoto, inventado pelo japonês Naoki Yoshimoto em 1971. Composto de oito cubos interligados, ele é capaz de se desdobrar de forma cíclica. Isto é, você poderia passar a eternidade mexendo nos cubos. Poderia.
No brinquedo aqui, os cubos foram ainda recortados em dois poliedros iguais, cada um capaz de formar um cubo Yoshimoto contendo um espaço vazio em seu interior com a forma exata de um outro cubo Yoshimoto “aberto” como um dodecaedro (há inúmeras outras formas possíveis). Se soou muito complicado, a animação ao lado deve ilustrar o milagre da multiplicação dos cubos. Que é apenas o efeito de um cubo Yoshimoto sólido se desdobrar em dois cubos Yoshimoto ocos e idênticos.
O brinquedo poliédrico pode ser mesmo comprado no MoMA por módicos U$55, mas você pode criar uma versão em casa com papel. É extremamente trabalhoso, e se você for não apenas duro como muito sedentário, pode ter um cubo de Yoshimoto simples usando apenas uma folha de papel sulfite, tesoura, fita adesiva e alguns minutos. Ele não fará o milagre da multiplicação, mas irá se desdobrar à vontade:
O MILAGRE DA MULTIPLICAÇÃO
Falando no milagre da multiplicação, vale lembrar que o cubo de Yoshimoto estrelado em sua duplicação aparente lembra o paradoxo de Banach-Tarski. É um inocente teorema matemático que parece sugerir que se você conseguir recortar uma laranja do jeito certo, poderá juntar os pedaços novamente para formar duas laranjas com exatamente o mesmo tamanho que a original. Ou se cortar uma melancia do jeito certo, poderá reorganizar os pedaços para formar uma esfera sólida com um diâmetro maior do que a distância daqui até a China. Ou um Monolito Negro do tamanho do Universo. Qualquer forma, qualquer volume, seria possível.
Por mais arbitrária e absurda que tal idéia pareça a princípio, o teorema foi demonstrado matematicamente há mais de 80 anos pelos poloneses Banach e Tarski, derivado de regras e axiomas largamente aceitos e em boa parte verificados como verdadeiros. Através deles podemos concluir que há, em tese, uma forma de cortar o volume de um pão de forma e juntar os pedaços para formar cinco mil pães.
O pequeno detalhe é que, como você deve ter adivinhado, isso é na prática impossível. O problema está em cortar do jeito certo. Os cortes devem ser “infinitamente” curvados e finos. Não há faca Ginsu que dê conta. Mesmo ignorando que há partículas e limites fundamentais, ainda que conseguisse cortar do jeito certo, nas transformações envolvidas no paradoxo acabaria com pedaços que de fato não teriam volume.
Cortar um pão em pedaços infinitamente detalhados que não têm volume para juntá-los na forma de milhares de pães é fisicamente impossível. Seria mesmo um milagre, se apenas ocorresse de verdade. Temos um artigo em CeticismoAberto com mais detalhes sobre o paradoxo.
Parece mais fácil transformar água em vinho, e aí se vê como o milagre que faz mais sucesso é na verdade o mais simples. Transmutação de elementos seria moleza em comparação.
MATH RULEZ
No caso do brinquedo de Yoshimoto, a duplicação aparente é ne verdade de um cubo sólido para dois cubos ocos. No paradoxo de Banach-Tarski, a arbitrariedade da multiplicação do volume é um resultado puramente matemático, como vacas esféricas, sem aplicação direta no mundo real.
Ou não. Ilustrar belos poliedros ou rigorosos teoremas matemáticos fazendo referência a milagres bíblicos pode desagradar a alguns, contudo já que estamos aqui, mencionemos especulações ainda mais selvagens, e todavia proporcionalmente curiosas.
Como John Gribbin comenta em O Poder Presciente da Matemática, a física tem uma relação muito curiosa com a matemática. Décadas antes de Einstein chegar à sua Teoria da Relatividade Geral, por exemplo, as ferramentas matemáticas para formalizá-la foram criadas e exploradas… como matemática pura. Einstein “simplesmente” percebeu como aplicá-las na descrição do mundo físico que nos cerca – no que contou com a ajuda de matemáticos, aliás –, explicando uma série de observações físicas até então anômalas.
Grosso modo, é como se alguém inventasse a chave de fenda antes do parafuso, por mera exploração intelectual, e depois descobrisse fascinado como a chave é perfeita para apertar o parafuso que descobriu ao perambular pela casa. E não percebesse o inusitado do que acabou de ocorrer.
Ocorre que o paradoxo de Banach-Tarski e outras ferramentas matemáticas absurdas e talvez literalmente enlouquecedoras (essa é história para outra coluna), sim podem ter aplicação na física, no mundo real. Com o provocante título “Física de Hádrons e a Teoria de Conjuntos Transfinitos”, o matemático e físico (ou vice-versa) Bruno Augenstein notou que:
“Toda reação de interação forte de hádrons pode ser vista como uma decomposição paradoxal ou uma seqüência de decomposições paradoxais”.
Se você acompanhou a coluna até aqui, talvez consiga entender o que Augenstein quis dizer. Hádrons, como vimos, são partículas como prótons e nêutrons, que compõem o núcleo dos átomos. E como partículas subatômicas fazem algumas peripécias fabulosas, o que inclui… uma multiplicação onde prótons em colisão podem gerar uma série de cópias idênticas a si mesmos, dependendo apenas da energia da colisão. E o fazem de uma forma que pode ser descrita precisamente como o teorema de Banach-Tarski permite que uma esfera sólida se multiplique.
Estariam as partículas subatômicas, em escalas menores das com que podemos lidar, adentrando o estranho mundo da matemática de conjuntos transfinitos? Bem, um outro trabalho de Augenstein sobre essa hipótese foi publicado no periódico com o apropriado nome de “Especulações em Ciência e Tecnologia”. São especulações, como alertamos. E não param aí.
Um astrofísico chegou a publicar em um periódico a sugestão de que essa magnificação Banach-Tarski pela qual uma ervilha pode ser decomposta e então recomposta para ter o tamanho do Universo poderia explicar… o Big Bang. E mesmo um Big Crunch.
Viagem demais? Provavelmente sim. O astrofísico é Mohamed El Naschie, figura central em uma série de práticas duvidosas denunciadas recentemente, incluindo publicar artigos pseudocientíficos. Encontrar El Naschie por acaso no meio destas especulações que começaram com o cubo Yoshimoto e passaram pelas escrituras bíblicas talvez já seja um bom sinal de que é hora de colocar os pés no chão.
De volta a solo firme, no entanto, espero que tenham a apreciado a viagem, Dúvida Razoável Airlines agradece a preferência.
- – -
Um ótimo livro com muito mais sobre o paradoxo de Banach-Tarski é “The Pea and the Sun – A Mathematical Paradox”. Infelizmente sem cubos de Yoshimoto, que você confere em mais vídeos e links em Microsiervos.
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Comentários
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Só uma dúvida (na verdades são várias, mas queria só saber essa)…
Quando você diz “Um astrofísico chegou a publicar em um periódico” está se referindo ao Mohamed El Naschie mesmo?
Sim. É o Naschie.
Ér…
Isso tudo porque é sedentário… Imagina se não fosse…
Mori, o paradoxo Banach-Tarski funciona pelo mesmo princípio do cubo de Yoshimoto em relação a criar objetos iguais E ocos? Ou seja, seriam esses objetos multiplicados (várias laranjas, como você usou por exemplo) ocos pelo paradoxo ou teriam o mesmo peso e volume?
“E como partículas subatômicas fazem algumas peripécias fabulosas, o que inclui… uma multiplicação onde prótons em colisão podem gerar uma série de cópias idênticas a si mesmos, dependendo apenas da energia da colisão.”
Hmm, prótons “ocos”?
“Ou um Monolito Negro do tamanho do Universo.”
Boa referência. Pam paam paaaam… Ta-daaam!
nada haver com multiplicação dos pães
quando começar a quebrar principios de conservação de massa (sem ocnsiderar efeitos relativistas) talvez estejamos perto de um milagre…
mecher com as ‘aparencias’ é coisa de playground.
Montar acompanhado o vídeo é meio complicado, né?
Se fosse há 11 anos atrás eu iria dizer: vai arrumar o que fazer.
Mas cara, quero um cubo deste, será um de meus próximos investimentos,huahua.
E também um dia vou fazer um moto perpétuo hehe.
Matemática bem aplicada resolve qualquer coisa (desbancando algumas leis da física, ôôô, se resolve).
Obrigado pela dedicação.
[...] e Robótica NASA detecta som misterioso de explosão em espaço profundo; origem desconhecida Dobrando o Cubo Yoshimoto e o Milagre da Multiplicação Tempestade solar “neutra” surpreende cientistas Equipe científica malandra da NASA [...]
Olá, bom, a alguns anos eu estudo sobre origami e este brinquedo já foi feito em origami, eu mesmo fiz um, mas demooora…
O nome do cara que fez isso em origami se chama john montrol, no livro, origami brilhante, que custa cerca de 40 reais nos sites de livros. É um diagrama bem complicado e requer um pouco de cola para que fique mais ou menos firme.
Para quem quiser saber mais deste brinquedo pode procurar no google por shinsei miracle, que aparecerá um site que mostra explicações em inglês deste brinquedo, mostrando que é uma espécie de caleidociclo.
Muito bom o post, fiquei fascinado com o vídeo do cubo inicialmente, mas ao ler o texto acabei impressionado. Parace que a matemática é uma linguagem de pensamento, uma visão totalmente alienígena ao senso comum de que nos apropriamos normalmente para compreender o mundo.
idéias fascinantes, até a próxima
Excelente!!!
Você deveria escrever mais destes Kentaro e menos do “contraalgumacoisa”…
E eu ri MTO com a citação ao Pinhead hHAUahUAHauHAuahUAHua
esse link do paradoxo nao ta funfando
cara esse vídeo e showwwww!!!!!!!!!!!!!
incrível…………
fantástico, mori!
meus parabéns, e valeu pela dica do saimon nos comentários…
abração!
[...] http://www.sedentario.org/colunas/duvida-razoavel/dobrando-o-cubo-yoshimoto-e-o-milagre-da-multiplic... bb_keywords = “Cubo Yoshimoto”; bb_bid = “4820″; bb_lang = “pt-BR”; bb_name = “custom”; bb_width [...]
cu cu
fantastico morri!
caranba meus parabens
amei seu trabalho
abração
A quem interessar, e tiver paciência, achei o diagrama do cubo de Yoshimoto. É o do David Brill, um origamista muito foda, e está disponível na página dele. O link é http://www.brilliantorigami.com/dsf.pdf
Não tentei fazer ainda, mas pela foto, parece que fica bem legal…
A quem interessar, e tiver paciência, achei o diagrama do cubo de Yoshimoto. É o do David Brill, um origamista muito foda, e está disponível na página dele. O link é http://www.brilliantorigami.com/dsf.pdf
Não tentei fazer ainda, mas pela foto, parece que fica bem legal…
quase todos falam isso
Parabéns vc foi muito criativo….isso muito me ajudou.